[Baekjoon] 11444. 피보나치 수 6

문제 설명

문제

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 출력한다.

예제 입력 1

1000

예제 출력 1

517691607

문제 풀이

# 분할정복

분할 정복을 이용해서 피보나치 수를 구하는 문제입니다.

저도 이 문제를 풀면서 알았는데, 피보나치 수는 행렬의 곱을 통해 구할 수 있습니다.

더 많은 정보를 알고 싶다면 아래 글을 참고해주세요.

• 피보나치 수를 구하는 여러가지 방법

전체 코드입니다.

'''
피보나치의 수열을 분할 정복으로 빨리 풀려면 행렬의 거듭제곱을 이용하면 된다. 
[[Fn+1,Fn],[Fn,Fn-1]] = [[F2,F1],[F1,F0]]^n = [[1,1],[1,0]]^n
'''
def cal_matrix_mul(A, B): # A*B
    C = [[0 for _ in range(len(B[0]))] for _ in range(len(A))]
    for i in range(len(A)):
        for j in range(len(B[0])):
            for k in range(len(A[0])):
                C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k] * B[k][j]) % div
    return C

def cal_matrix_power(A, b): # A^b
    if b in memo: X, Y = memo[b], I
    elif b % 2 == 0: X = Y = cal_matrix_power(A, b//2)
    else: X, Y = cal_matrix_power(A, b-1), A

    if b == 1 or b not in memo: memo[b] = cal_matrix_mul(X, Y)
    return memo[b]

n, div = int(input()), int(1e+9) + 7
F = [[1,1],[1,0]] # 기본 피보나치 행렬
I = [[0]*k + [1] + [0]*(len(F)-k-1) for k in range(len(F))] # 항등 행렬
memo = {1: F}
res = cal_matrix_power(F, n)
print(res[0][1] if n >= 2 else 1)